Let $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ be a linear transformation such that $T$ is a rotation by an angle of $90^\circ$ in the clockwise direction in $\mathbb{R}^2$. Then:
मान लीजिए $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ एक रैखिक रूपांतरण है जहाँ $T$, $\mathbb{R}^2$ में दक्षिणावर्त (क्लॉकवाइज) दिशा में $90^\circ$ के कोण पर घूर्णन है। तब:
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
Matrix representation of 2D clockwise rotation:
- $(0, 1)$ is obtained by rotating $(1, 0)$ counter-clockwise by $90^\circ$.
- Length must be preserved ($1$), but $(1, -1)$ has norm $\sqrt{2}$.
- clockwise rotation by $90^\circ$ corresponds to an angle $\theta = -90^\circ$. The transformation matrix is: $\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Applying this to the standard basis vector $(1, 0)^T$: $T(1, 0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = (0, -1)$.
- $(1, 1)$ does not preserve length.
द्विविमीय समतल में दक्षिणावर्त घूर्णन:
- $(0, 1)$ वामावर्त (एंटी-क्लॉकवाइज) घूर्णन से प्राप्त होता है।
- घूर्णन सदिश की लंबाई को अपरिवर्तित रखता है।
- दक्षिणावर्त दिशा में $90^\circ$ के कोण पर घूर्णन आव्यूह $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ होता है। अतः आधार सदिश $(1, 0)$ का रूपांतरण: $T(1, 0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = (0, -1)$ प्राप्त होता है।
- यह अमान्य मान है।
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