Let $V$ and $W$ be vector spaces and $T: V \to W$ be a linear transformation. Then:
मान लीजिए $V$ और $W$ सदिश समष्टियां हैं तथा $T: V \to W$ एक रैखिक रूपांतरण है। तब:
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
Fundamental properties of linear transformations:
- The null space (kernel) is a subspace of domain $V$, not codomain $W$.
- The range (rank) is a subspace of codomain $W$, not domain $V$.
- By linearity, $T(0_V) = T(0 \cdot 0_V) = 0 \cdot T(0_V) = 0_W$. Every linear transformation maps the zero vector of domain space $V$ to the zero vector of codomain space $W$.
- Linear transformations map the zero vector to the zero vector, not the identity matrix.
रैखिक रूपांतरण के मूलभूत गुणधर्म:
- कर्नेल (शून्यता समष्टि) प्रांत $V$ की उपसमष्टि होती है, $W$ की नहीं।
- परिसर (रैंक समष्टि) सहप्रांत $W$ की उपसमष्टि होती है, $V$ की नहीं।
- रैखिकता के नियम से $T(0_V) = T(0 \cdot v) = 0 \cdot T(v) = 0_W$ होता है। प्रत्येक रैखिक रूपांतरण प्रांत के शून्य सदिश को सहप्रांत के शून्य सदिश पर प्रतिचित्रित करता है।
- शून्य सदिश का प्रतिचित्रण तत्समक नहीं हो सकता।
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