Let sum_{n=1}^infty (-1)^n a_n = sum_{n=1}^infty (-1)^n (1 / sqrt(n)) be a series, then :
मान लीजिए sum_{n=1}^infty (-1)^n a_n = sum_{n=1}^infty (-1)^n (1 / sqrt(n)) एक श्रेणी है, तो :
EXPLANATION
Sequences and Series: Arithmetic, Geometric, Harmonic Progressions and Infinite Series Convergence
Step-by-step analysis of each option for $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} = n^{-1/2}$:
- Incorrect: By the Alternating Series (Leibniz) Test, since $a_n \gt 0$, $a_n$ is monotonically decreasing to $0$, $\sum (-1)^n a_n$ converges (conditionally).
- Incorrect: $\sum (a_n)^2 = \sum \frac{1}{n}$, which is the divergent harmonic series ($p = 1$).
- Correct: $\sum_{n=1}^\infty (a_n)^3 = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^3 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$. This is a standard $p$-series with $p = 3/2 \gt 1$, which is convergent.
- Incorrect: $\sum a_n = \sum \frac{1}{n^{1/2}}$ is a $p$-series with $p = 1/2 \le 1$, which is divergent.
$a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} = n^{-1/2}$ हेतु प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण:
- गलत: लीबनिज एकांतर श्रेणी परीक्षण से यह श्रेणी अभिसारी है, अपसारी नहीं।
- गलत: $\sum (a_n)^2 = \sum \frac{1}{n}$ हरात्मक श्रेणी है जो अपसारी ($p=1$) होती है।
- सही: $\sum_{n=1}^\infty (a_n)^3 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$। यह $p = 3/2 \gt 1$ वाली $p$-श्रेणी है, अतः $p$-परीक्षण के अनुसार यह निश्चित रूप से अभिसारी (Convergent) है।
- गलत: $\sum a_n = \sum \frac{1}{n^{1/2}}$ में $p = 1/2 \le 1$ होने से यह अपसारी है।
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