Let $(a_n) = \frac{\sin n}{n}$ be a sequence of real numbers. Then $\lim_{n \to \infty} a_n$ is:
मान लीजिए $(a_n) = \frac{\sin n}{n}$ वास्तविक संख्याओं का एक अनुक्रम है। तब $\lim_{n \to \infty} a_n$ का मान क्या होगा?
EXPLANATION
Sequences and Series: Arithmetic, Geometric, Harmonic Progressions and Infinite Series Convergence
Application of the Squeeze (Sandwich) Theorem:
- Since $-1 \le \sin n \le 1$ for all natural numbers $n$, dividing by positive $n$ gives: $-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}$. As $n \to \infty$, both $-\frac{1}{n} \to 0$ and $\frac{1}{n} \to 0$. By the Squeeze Theorem, $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$.
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, but here $n \to \infty$, not $0$.
- The limit exists and is unique ($0$).
- $1/2$ is incorrect.
सैंडविच (पिंचिंग) प्रमेय का अनुप्रयोग:
- किसी भी $n$ के लिए $-1 \le \sin n \le 1$ होता है। $n$ से भाग देने पर: $-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}$ प्राप्त होता है। जब $n \to \infty$, तब $-\frac{1}{n} \to 0$ और $\frac{1}{n} \to 0$। अतः सैंडविच प्रमेय के अनुसार $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$ होगा।
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ होता है, परंतु यहाँ $n \to \infty$ है।
- सीमा का अस्तित्व है और यह शून्य है।
- $1/2$ गलत है।
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