Let Z₁ and Z₂ be two complex numbers, then: / मान लीजिए Z₁ और Z₂ दो सम्मिश्र संख्याएं (complex numbers) हैं, तो:

{Z₁ + Z₂} ≤ {Z₁} + {Z₂}

{Z₁ + Z₂} ≥ {Z₁} + {Z₂}

Let Z₁ and Z₂ be two complex numbers, then: / मान लीजिए Z₁ और Z₂ दो सम्मिश्र संख्याएं (complex numbers) हैं, तो:

(3) {Z₁ Z₂} = {Z₁}\, {Z₂} Explanation (English): Properties of complex conjugates: 1. The conjugate of a product is the product of the conjugates: {Z₁ Z₂} = {Z₁}\, {Z₂}. (Option 3 is strictly true). 2. The field of complex numbers {C} is not an ordered field, meaning inequality relations (, ≥) are undefined for general complex numbers. Therefore, Options 1, 2, and 4 are mathematically meaningless. Hence, Option 3 is the correct algebraic identity. व्याख्या (हिंदी): सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) के गुणधर्म: 1. गुणनफल का संयुग्मी उनके अलग-अलग संयुग्मियों के गुणनफल के बराबर होता है: {Z₁ Z₂} = {Z₁}\, {Z₂} (विकल्प 3 सत्य है)। 2. सम्मिश्र संख्याएं क्रमित क्षेत्र (ordered field) नहीं बनाती हैं, अतः सम्मिश्र संख्याओं के बीच असमिकाएं (, ≥) परिभाषित नहीं होती हैं। अतः विकल्प 3 सही उत्तर है।

Let Z₁ and Z₂ be two complex numbers, then:

Q.3

ICAR AIEEA PG 2024 - Statistical Sciences (Q.91)

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let $Z_1$ and $Z_2$ be two complex numbers, then:

मान लीजिए $Z_1$ और $Z_2$ दो सम्मिश्र संख्याएं (complex numbers) हैं, तो:

$\overline{Z_1 + Z_2} \le \overline{Z_1} + \overline{Z_2}$ $\overline{Z_1 + Z_2} \le \overline{Z_1} + \overline{Z_2}$ $\overline{Z_1 + Z_2} \ge \overline{Z_1} + \overline{Z_2}$ $\overline{Z_1 + Z_2} \ge \overline{Z_1} + \overline{Z_2}$ $\overline{Z_1 Z_2} = \overline{Z_1}\, \overline{Z_2}$ $\overline{Z_1 Z_2} = \overline{Z_1}\, \overline{Z_2}$ Correct $\overline{Z_1 Z_2} < \overline{Z_1}\, \overline{Z_2}$ $\overline{Z_1 Z_2} < \overline{Z_1}\, \overline{Z_2}$

Properties of complex conjugates:

The conjugate of a product is the product of the conjugates: $\overline{Z_1 Z_2} = \overline{Z_1}\, \overline{Z_2}$. (Option 3 is strictly true).
The field of complex numbers $\mathbb{C}$ is not an ordered field, meaning inequality relations ($\lt , \le, \gt , \ge$) are undefined for general complex numbers. Therefore, Options 1, 2, and 4 are mathematically meaningless.

Hence, Option 3 is the correct algebraic identity.

सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) के गुणधर्म:

गुणनफल का संयुग्मी उनके अलग-अलग संयुग्मियों के गुणनफल के बराबर होता है: $\overline{Z_1 Z_2} = \overline{Z_1}\, \overline{Z_2}$ (विकल्प 3 सत्य है)।
सम्मिश्र संख्याएं क्रमित क्षेत्र (ordered field) नहीं बनाती हैं, अतः सम्मिश्र संख्याओं के बीच असमिकाएं ($\lt , \le, \gt , \ge$) परिभाषित नहीं होती हैं।

अतः विकल्प 3 सही उत्तर है।

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