If X and Y are independent Poisson variates having means 1 and 3 respectively, find the variance of 3X+Y.
यदि X और Y स्वतंत्र पॉइसन चर (Independent Poisson variates) हैं जिनके माध्य क्रमशः 1 और 3 हैं, तो 3X+Y का प्रसरण (Variance) ज्ञात कीजिए।
EXPLANATION
Theoretical Discrete Probability Distributions: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geometric and Hypergeometric
Step-by-step variance evaluation:
For any Poisson variate, the variance equals the mean:
- Incorrect: 6 is obtained by calculating $3 \times 1 + 3 = 6$, which is the mean $E(3X+Y)$, not the variance.
- Incorrect: 9 is $3^2 \text{Var}(X)$.
- Correct: For independent random variables $X$ and $Y$:
$$\text{Var}(3X + Y) = 3^2 \text{Var}(X) + 1^2 \text{Var}(Y) = 9(1) + 1(3) = 9 + 3 = 12$$ - Incorrect: 18 is obtained if the coefficients are squared incorrectly.
रैखिक संयोजन के प्रसरण की चरणबद्ध गणना:
पॉइसन बंटन में प्रसरण का मान उसके माध्य के बराबर होता है:
- गलत: 6 इस संयोजन का माध्य $E(3X+Y) = 3(1)+3 = 6$ है, प्रसरण नहीं।
- गलत: 9 केवल प्रथम पद का प्रसरण है।
- सही: चूँकि X और Y स्वतंत्र चर हैं, प्रसरण के गुणधर्म से:
$$\text{Var}(3X + Y) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) + 1^2 \cdot \text{Var}(Y) = 9(1) + 1(3) = 9 + 3 = 12$$ - गलत: यह गणना त्रुटि से प्राप्त मान है।
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