When Viswanath plays chess, he wins with probability 0.80, loses with probability 0.20. Assume independence, find the probability that Viswanath's first win happens when he plays his third game.
जब विश्वनाथ शतरंज खेलते हैं, तो उनके जीतने की प्रायिकता 0.80 और हारने की प्रायिकता 0.20 है। स्वतंत्रता (Independence) मानते हुए, क्या प्रायिकता है कि विश्वनाथ की पहली जीत उनके तीसरे खेल में हो?
EXPLANATION
Theoretical Discrete Probability Distributions: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geometric and Hypergeometric
Step-by-step probability calculation:
Let $W$ denote a win ($P(W) = p = 0.80$) and $L$ denote a loss ($P(L) = q = 0.20$).
For the first win to occur on the third game, the first two games must be losses and the third game must be a win ($L_1 \cap L_2 \cap W_3$).
- Incorrect: 0.8 is the probability of winning any individual game.
- Incorrect: 0.2 is the probability of losing any individual game.
- Correct: By independence:
$$P(\text{First win on game 3}) = P(L_1) \times P(L_2) \times P(W_3) = 0.20 \times 0.20 \times 0.80 = 0.04 \times 0.80 = 0.032$$ - Incorrect: $0.512 = 0.80^3$ is the probability of winning all first three games.
गुणोत्तर बंटन / स्वतंत्र घटनाओं की गणना:
जीत की प्रायिकता $p = 0.80$, हार की प्रायिकता $q = 0.20$।
तीसरे खेल में पहली जीत प्राप्त होने का अर्थ है: पहला खेल हारना, दूसरा खेल हारना और तीसरा खेल जीतना ($L_1 \cap L_2 \cap W_3$)।
- गलत: 0.8 एकल खेल में जीतने की संभावना है।
- गलत: 0.2 एकल खेल में हारने की संभावना है।
- सही: स्वतंत्र घटनाओं के गुणन नियम से:
$$P = q \times q \times p = 0.20 \times 0.20 \times 0.80 = 0.04 \times 0.80 = 0.032$$ - गलत: $0.512 = 0.8^3$ तीनों खेल लगातार जीतने की प्रायिकता है।
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