If X is random Poisson variate such that P(X=1) = P(X=2). What is the P(X=4) ?
यदि X एक ऐसा पॉइसन यादृच्छिक चर (Poisson random variate) है कि P(X=1) = P(X=2), तो P(X=4) का मान क्या होगा?
EXPLANATION
Theoretical Discrete Probability Distributions: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geometric and Hypergeometric
Step-by-step mathematical evaluation:
For a Poisson variate with parameter $\lambda$:
Given $P(X=1) = P(X=2)$:
$$\frac{e^{-\lambda}\lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda}\lambda^2}{2!}$$ $$\lambda = \frac{\lambda^2}{2} \implies \lambda = 2$$Now, evaluate $P(X=4)$ with $\lambda = 2$:
$$P(X=4) = \frac{e^{-2} \cdot 2^4}{4!} = \frac{e^{-2} \cdot 16}{24} = \frac{2 e^{-2}}{3}$$- Incorrect: $(5e^{-2})/6$ is obtained from arithmetic error.
- Incorrect: $(2e^{-2})/2 = e^{-2}$, which corresponds to $P(X=2)$ or $P(X=1)$.
- Incorrect: $(e^{-2})/3$ misses a factor of 2.
- Correct: Evaluating $\frac{16}{24} e^{-2}$ gives exactly $\frac{2}{3}e^{-2}$.
पॉइसन बंटन (Poisson Distribution) की चरणबद्ध गणना:
पॉइसन चर हेतु प्रायिकता द्रव्यमान फलन:
दिया है $P(X=1) = P(X=2)$:
$$\frac{e^{-\lambda}\lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda}\lambda^2}{2!} \implies \lambda = \frac{\lambda^2}{2} \implies \lambda = 2$$अब $\lambda = 2$ के लिए $P(X=4)$ की गणना:
$$P(X=4) = \frac{e^{-2} \cdot 2^4}{4!} = \frac{16 \cdot e^{-2}}{24} = \frac{2 e^{-2}}{3}$$- गलत: यह त्रुटिपूर्ण गणना है।
- गलत: यह $e^{-2}$ के बराबर है जो $P(X=1)$ का मान है।
- गलत: यह सही मान का आधा है।
- सही: $\frac{16}{24}e^{-2} = \frac{2}{3}e^{-2}$ बिल्कुल सही उत्तर है।
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