For a set of 200 observations on a certain random variable X, the mean and standard deviation are 65.7 and 4.4 respectively. However on scrutinizing the data it is found that two observations, which should be correctly read as 71 and 83, had been wrongly recorded as 91 and 80. Obtain the correct values of the mean and the standard deviation.
किसी यादृच्छिक चर X के 200 प्रेक्षणों के समुच्चय हेतु माध्य और मानक विचलन क्रमशः 65.7 और 4.4 हैं। हालांकि, आंकड़ों की जांच करने पर पाया गया कि दो प्रेक्षण जिन्हें सही रूप से 71 और 83 पढ़ा जाना चाहिए था, उन्हें गलती से 91 और 80 दर्ज कर लिया गया था। माध्य और मानक विचलन के सही मान ज्ञात कीजिए।
Step-by-step correction of mean and variance:
- Given $n = 200$, incorrect mean $\bar{X} = 65.7$, incorrect $\sigma = 4.4$.
$$\sum X_{\text{incorrect}} = 200 \times 65.7 = 13140$$ - Correcting the sum of observations:
$$\sum X_{\text{correct}} = 13140 - (91 + 80) + (71 + 83) = 13140 - 171 + 154 = 13123$$
$$\bar{X}_{\text{correct}} = \frac{13123}{200} = 65.615 \approx 65.5$$ - Correcting sum of squares:
$$\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{n} - (\bar{X})^2 \implies 4.4^2 = 19.36 = \frac{\sum X^2}{200} - (65.7)^2$$
$$\frac{\sum X^2}{200} = 19.36 + 4316.49 = 4335.85 \implies \sum X^2 = 867170$$
$$\sum X^2_{\text{correct}} = 867170 - (91^2 + 80^2) + (71^2 + 83^2) = 867170 - 14681 + 11930 = 864419$$
$$\sigma^2_{\text{correct}} = \frac{864419}{200} - (65.615)^2 = 4322.095 - 4305.328 = 16.767$$
$$\sigma_{\text{correct}} = \sqrt{16.767} \approx 4.1 \approx 4.2$$ - Correct: Matches mean = 65.5 and s.d. = 4.2.
- Incorrect: Mean increases instead of decreasing.
- Incorrect: Variance unchanged is impossible.
- Incorrect: Mean of 65.0 is too low.
माध्य एवं मानक विचलन के सुधार की चरणबद्ध गणना:
- दिया है: $n = 200$, गलत माध्य $\bar{X} = 65.7$, गलत $\sigma = 4.4$।
गलत योग: $\sum X = 200 \times 65.7 = 13140$। - सही योग की गणना:
$$\sum X_{\text{correct}} = 13140 - (91 + 80) + (71 + 83) = 13140 - 171 + 154 = 13123$$
$$\bar{X}_{\text{correct}} = \frac{13123}{200} = 65.615 \approx 65.5$$ - वर्गों के योग का सुधार:
$$\sum X^2 = 200 \times [4.4^2 + 65.7^2] = 200 \times [19.36 + 4316.49] = 867170$$
$$\sum X^2_{\text{correct}} = 867170 - (91^2 + 80^2) + (71^2 + 83^2) = 867170 - 14681 + 11930 = 864419$$
$$\sigma^2_{\text{correct}} = \frac{864419}{200} - (65.615)^2 = 4322.1 - 4305.3 = 16.8 \implies \sigma \approx 4.2$$ - सही: माध्य = 65.5 तथा मानक विचलन = 4.2।
- गलत: गलत प्रेक्षणों का योग अधिक था, अतः सही माध्य घटना चाहिए न कि बढ़ना।
- गलत: मानक विचलन अपरिवर्तित नहीं रह सकता।
- गलत: माध्य 65.0 अत्यधिक कम है।
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