Suppose three dice are rolled. Under the condition that no two show the same face, what is the probability that one of the faces is an ace ?
मान लीजिए कि तीन पासे फेंके जाते हैं। इस शर्त के तहत कि किन्हीं दो पासों पर समान फलक न आए, क्या प्रायिकता है कि किसी एक फलक पर इक्का (Ace, 1) आए?
EXPLANATION
Probability Theory: Classical, Axiomatic Definitions, Addition, Multiplication Theorems and Bayes Theorem
Mathematical calculation of conditional probability:
Let event $B$ be 'no two dice show the same face' (all three dice show distinct numbers from 1 to 6).
Let event $A$ be 'one of the faces is an ace (number 1)'.
- Incorrect: $1/4$ underestimates the favorable outcomes.
- Correct:
Total number of permutations where all 3 dice show distinct faces:
$$n(B) = 6 \times 5 \times 4 = 120$$
Number of permutations where all 3 faces are distinct AND one of them is an ace (1):
The ace can appear on any of the 3 dice ($3$ choices). The remaining two dice must take distinct values chosen from the other 5 numbers ($5 \times 4 = 20$ choices):
$$n(A \cap B) = 3 \times (5 \times 4) = 60$$
Therefore, the conditional probability is:
$$P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$$
Equivalently, choosing 3 distinct numbers out of 6 uniformly: probability that a specific number (ace) is among the 3 chosen is $\frac{\binom{5}{2}}{\binom{6}{3}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
- Incorrect: $1/3$ would be if only 2 distinct dice were rolled.
- Incorrect: $1/6$ is unconditional probability for a single die.
सप्रतिबंध प्रायिकता (Conditional Probability) की गणना:
मान लीजिए घटना B = 'तीनों पासों पर भिन्न-भिन्न अंक आते हैं'।
घटना A = 'किसी एक फलक पर इक्का (अंक 1) आता है'।
- गलत: यह एक तिहाई से भी कम मान है।
- सही:
कुल संभव परिणाम जहाँ तीनों पासों पर अलग-अलग अंक आते हैं:
$$n(B) = 6 \times 5 \times 4 = 120$$
अनुकूल परिणाम जहाँ तीनों अंक भिन्न हों और उनमें एक इक्का (1) अवश्य हो:
इक्का 3 पासों में से किसी एक पर आ सकता है (3 तरीके)। शेष दो पासों पर अन्य 5 अंकों में से दो भिन्न अंक आएंगे ($5 \times 4 = 20$ तरीके):
$$n(A \cap B) = 3 \times (5 \times 4) = 60$$
अतः अभीष्ट सप्रतिबंध प्रायिकता:
$$P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$$
वैकल्पिक रूप से: 6 अंकों में से 3 भिन्न अंक चुनने पर, किसी विशिष्ट अंक (इक्का) के चुने जाने की प्रायिकता $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ होती है।
- गलत: यह गणना त्रुटि से प्राप्त होता है।
- गलत: $1/6$ एक पासे पर इक्का आने की सामान्य प्रायिकता है।
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