Let A and B are any two events and P(A)= p1, P(B)= p2 and P(A cap B)= p3. What is the value of P(bar{A} / bar{B}) ?
मान लीजिए कि A और B कोई दो घटनाएँ हैं तथा P(A) = p1, P(B) = p2 और P(A cap B) = p3 है। P(bar{A} / bar{B}) का मान क्या होगा?
EXPLANATION
Probability Theory: Classical, Axiomatic Definitions, Addition, Multiplication Theorems and Bayes Theorem
Derivation using probability axioms and De Morgan's laws:
- Incorrect: The denominator must be $P(\bar{B}) = 1 - p_2$, not $1 - p_3$.
- Incorrect: $p_1 / p_2$ applies only in trivial independence or ratio cases.
- Correct: By definition of conditional probability:
$$P(\bar{A} / \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$
Applying De Morgan's law, $\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$, so:
$$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)] = 1 - p_1 - p_2 + p_3$$
Since $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - p_2$, we obtain:
$$P(\bar{A} / \bar{B}) = \frac{1 - p_1 - p_2 + p_3}{1 - p_2}$$ - Incorrect: The denominator contains $1 - p_1$, which corresponds to conditioning on $\bar{A}$.
प्रायिकता सिद्धांतों एवं डी मॉर्गन नियमों द्वारा व्युत्पत्ति:
- गलत: हर (Denominator) में $P(\bar{B}) = 1 - p_2$ होना चाहिए, $1 - p_3$ नहीं।
- गलत: यह सामान्य अनुपात है जो सप्रतिबंध प्रायिकता को नहीं दर्शाता।
- सही: सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$$P(\bar{A} / \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$
डी मॉर्गन नियम से, $\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$, अतः:
$$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - (p_1 + p_2 - p_3) = 1 - p_1 - p_2 + p_3$$
चूँकि $P(\bar{B}) = 1 - p_2$ है:
$$P(\bar{A} / \bar{B}) = \frac{1 - p_1 - p_2 + p_3}{1 - p_2}$$ - गलत: इसमें हर में $1 - p_1$ दिया गया है जो घटना $\bar{A}$ पर प्रतिबंध दर्शाता है।
Explanation not matching this question?
क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही?
Report
Want to practice this paper in exam conditions?
क्या आप परीक्षा जैसे माहौल में अभ्यास करना चाहते हैं?
Test yourself in 5-question batch format with timer and hidden answers.
5-प्रश्नों के बैच फॉर्मैट, टाइमर और छिपे उत्तरों के साथ खुद को परखें।
Start Practice Mode →
प्रैक्टिस टेस्ट मोड शुरू करें →