Let A and B are any two events and P(A)= p1, P(B)= p2 and P(A...

Q.11

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.26)

MCQ (Single Correct) +4 −1

Suppose three dice are rolled. Under the condition that no two show the same face, what is the probability that one of the faces is an ace ?

मान लीजिए कि तीन पासे फेंके जाते हैं। इस शर्त के तहत कि किन्हीं दो पासों पर समान फलक न आए, क्या प्रायिकता है कि किसी एक फलक पर इक्का (Ace, 1) आए?

1/4 1/4 1/2 1/2 1/3 1/3 1/6 1/6

Mathematical calculation of conditional probability:
Let event $B$ be 'no two dice show the same face' (all three dice show distinct numbers from 1 to 6).
Let event $A$ be 'one of the faces is an ace (number 1)'.

Incorrect: $1/4$ underestimates the favorable outcomes.
Correct:
Total number of permutations where all 3 dice show distinct faces:
$$n(B) = 6 \times 5 \times 4 = 120$$
Number of permutations where all 3 faces are distinct AND one of them is an ace (1):
The ace can appear on any of the 3 dice ($3$ choices). The remaining two dice must take distinct values chosen from the other 5 numbers ($5 \times 4 = 20$ choices):
$$n(A \cap B) = 3 \times (5 \times 4) = 60$$

Therefore, the conditional probability is: $$P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$$ Equivalently, choosing 3 distinct numbers out of 6 uniformly: probability that a specific number (ace) is among the 3 chosen is $\frac{\binom{5}{2}}{\binom{6}{3}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

Incorrect: $1/3$ would be if only 2 distinct dice were rolled.
Incorrect: $1/6$ is unconditional probability for a single die.

सप्रतिबंध प्रायिकता (Conditional Probability) की गणना:
मान लीजिए घटना B = 'तीनों पासों पर भिन्न-भिन्न अंक आते हैं'।
घटना A = 'किसी एक फलक पर इक्का (अंक 1) आता है'।

गलत: यह एक तिहाई से भी कम मान है।
सही:
कुल संभव परिणाम जहाँ तीनों पासों पर अलग-अलग अंक आते हैं:
$$n(B) = 6 \times 5 \times 4 = 120$$
अनुकूल परिणाम जहाँ तीनों अंक भिन्न हों और उनमें एक इक्का (1) अवश्य हो:
इक्का 3 पासों में से किसी एक पर आ सकता है (3 तरीके)। शेष दो पासों पर अन्य 5 अंकों में से दो भिन्न अंक आएंगे ($5 \times 4 = 20$ तरीके):
$$n(A \cap B) = 3 \times (5 \times 4) = 60$$

अतः अभीष्ट सप्रतिबंध प्रायिकता: $$P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$$ वैकल्पिक रूप से: 6 अंकों में से 3 भिन्न अंक चुनने पर, किसी विशिष्ट अंक (इक्का) के चुने जाने की प्रायिकता $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ होती है।

गलत: यह गणना त्रुटि से प्राप्त होता है।
गलत: $1/6$ एक पासे पर इक्का आने की सामान्य प्रायिकता है।

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Q.12

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.27)

MCQ (Single Correct) +4 −1

Three points are taken at random on the circumference of a circle. What is the probability that they will all lie in a semicircle ?

एक वृत्त की परिधि पर यादृच्छिक रूप से तीन बिंदु लिए जाते हैं। क्या प्रायिकता है कि वे सभी एक ही अर्धवृत्त (Semicircle) में स्थित होंगे?

1/3 1/3 1/4 1/4 3/4 3/4 2/3 2/3

Mathematical derivation of geometric probability:

Incorrect: $1/3$ is not the value.
Incorrect: $1/4$ is the complementary probability that the triangle formed contains the center of the circle.
Correct: For $n$ independent points placed uniformly at random on the circumference of a circle, the probability that all $n$ points lie within some semicircle is given by the classic formula:
$$P = \frac{n}{2^{n-1}}$$
For $n = 3$ points:
$$P = \frac{3}{2^{3-1}} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}$$
Alternatively, three points do not lie in a semicircle if and only if the center of the circle lies inside the triangle formed by the three points, which has probability $1/4$. Thus, $P = 1 - 1/4 = 3/4$.
Incorrect: $2/3$ is incorrect.

ज्यामितीय प्रायिकता (Geometric Probability) की गणना:

गलत: यह अमान्य मान है।
गलत: $1/4$ इस बात की प्रायिकता है कि तीनों बिंदुओं से बना त्रिभुज वृत्त के केंद्र को आवृत करेगा।
सही: वृत्त की परिधि पर स्वतंत्र रूप से लिए गए $n$ यादृच्छिक बिंदुओं के एक ही अर्धवृत्त में होने की मानक प्रायिकता का सूत्र होता है:
$$P = \frac{n}{2^{n-1}}$$
यहाँ $n = 3$ बिंदु हैं:
$$P = \frac{3}{2^{3-1}} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}$$
वैकल्पिक विधि: तीनों बिंदु एक अर्धवृत्त में नहीं होंगे यदि और केवल यदि त्रिभुज में वृत्त का केंद्र स्थित हो, जिसकी प्रायिकता $1/4$ होती है। अतः $P = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
गलत: यह त्रुटिपूर्ण है।

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Q.13

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.31)

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let A and B are any two events and P(A)= p1, P(B)= p2 and P(A cap B)= p3. What is the value of P(bar{A} / bar{B}) ?

मान लीजिए कि A और B कोई दो घटनाएँ हैं तथा P(A) = p1, P(B) = p2 और P(A cap B) = p3 है। P(bar{A} / bar{B}) का मान क्या होगा?

(1 - p1 - p2 + p3) / (1 - p3) (1 - p1 - p2 + p3) / (1 - p3) p1 / p2 p1 / p2 (1 - p1 - p2 + p3) / (1 - p2) (1 - p1 - p2 + p3) / (1 - p2) (1 - p1 - p2 + p3) / (1 - p1) (1 - p1 - p2 + p3) / (1 - p1)

Derivation using probability axioms and De Morgan's laws:

Incorrect: The denominator must be $P(\bar{B}) = 1 - p_2$, not $1 - p_3$.
Incorrect: $p_1 / p_2$ applies only in trivial independence or ratio cases.
Correct: By definition of conditional probability:
$$P(\bar{A} / \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$
Applying De Morgan's law, $\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$, so:
$$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)] = 1 - p_1 - p_2 + p_3$$
Since $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - p_2$, we obtain:
$$P(\bar{A} / \bar{B}) = \frac{1 - p_1 - p_2 + p_3}{1 - p_2}$$
Incorrect: The denominator contains $1 - p_1$, which corresponds to conditioning on $\bar{A}$.

प्रायिकता सिद्धांतों एवं डी मॉर्गन नियमों द्वारा व्युत्पत्ति:

गलत: हर (Denominator) में $P(\bar{B}) = 1 - p_2$ होना चाहिए, $1 - p_3$ नहीं।
गलत: यह सामान्य अनुपात है जो सप्रतिबंध प्रायिकता को नहीं दर्शाता।
सही: सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$$P(\bar{A} / \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$
डी मॉर्गन नियम से, $\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$, अतः:
$$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - (p_1 + p_2 - p_3) = 1 - p_1 - p_2 + p_3$$
चूँकि $P(\bar{B}) = 1 - p_2$ है:
$$P(\bar{A} / \bar{B}) = \frac{1 - p_1 - p_2 + p_3}{1 - p_2}$$
गलत: इसमें हर में $1 - p_1$ दिया गया है जो घटना $\bar{A}$ पर प्रतिबंध दर्शाता है।

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Q.14

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.32)

MCQ (Single Correct) +4 −1

The probability that both S and T occur, the probability that S occurs and T does not, and the probability that T occurs and S does not are all equal to p. The probability that either S or T occurs is :

दोनों S और T के घटित होने की प्रायिकता, S के घटित होने और T के न होने की प्रायिकता, तथा T के घटित होने और S के न होने की प्रायिकता, सभी p के बराबर हैं। S या T में से किसी एक के घटित होने की प्रायिकता क्या है?

p p 2p 2p 3p 3p 2/3 p 2/3 p

Q.15

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper (Q.37)

MCQ (Single Correct) +4 −1

A person speaks truth $4$ out of $5$ times. A die is tossed. He reports that there is a six. What is the chance that actually there was a six?

एक व्यक्ति $5$ में से $4$ बार सच बोलता है। एक पासा फेंका जाता है। वह बताता है कि छह (6) आया है। वास्तव में छह आने की प्रायिकता क्या है?

$4/9$ $4/9$ $5/9$ $5/9$ $1/9$ $1/9$ $1/3$ $1/3$

Solution via Bayes' Theorem:

Let $E_1$ be event that six occurs ($P(E_1) = 1/6$) and $E_2$ be event that six does not occur ($P(E_2) = 5/6$). Let $A$ be the event that the person reports six. Probability of reporting six when it actually occurred is $P(A|E_1) = 4/5$ (truth). Probability of reporting six when six did not occur is $P(A|E_2) = 1 - 4/5 = 1/5$ (lie). By Bayes' theorem: $P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{4}{5}}{\frac{1}{6} \times \frac{4}{5} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{5}} = \frac{4/30}{4/30 + 5/30} = \frac{4}{9}$.
$5/9$ is the posterior probability that he lied.
$1/9$ is incorrect.
$1/3$ is incorrect.

बेस प्रमेय द्वारा समाधान:

माना $E_1$ छह आने की घटना है ($P(E_1) = 1/6$) तथा $E_2$ छह न आने की घटना है ($P(E_2) = 5/6$)। माना $A$ व्यक्ति द्वारा छह बताने की घटना है। छह आने पर छह बताने की प्रायिकता $P(A|E_1) = 4/5$ (सत्य) तथा छह न आने पर छह बताने की प्रायिकता $P(A|E_2) = 1/5$ (असत्य) है। बेस प्रमेय से: $P(E_1|A) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{4}{5}}{\frac{1}{6} \times \frac{4}{5} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{5}} = \frac{4/30}{9/30} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
$5/9$ उसके झूठ बोलने की पश्च प्रायिकता है।
$1/9$ अमान्य है।
$1/3$ गलत है।