If the regression line is given by $X = 2 + 4Y$, then the correlation coefficient ($r$) is:
यदि समाश्रयण रेखा $X = 2 + 4Y$ द्वारा दी गई है, तो सहसंबंध गुणांक ($r$) कैसा होगा?
Relationship between regression slopes and correlation coefficient:
- $1/4$ is the reciprocal slope of the equation, not necessarily the correlation coefficient.
- Correlation coefficient $r$ cannot exceed $+1$, so it cannot be $4$.
- In the regression of $X$ on $Y$, $b_{xy} = +4$. A fundamental statistical theorem states that the regression coefficients $b_{yx}$, $b_{xy}$, and the Pearson correlation coefficient $r$ must all share the exact same mathematical sign. Since $b_{xy} \gt 0$, $r$ must be strictly positive ($r \gt 0$).
- $r$ cannot exceed $1$ by definition ($-1 \le r \le +1$).
समाश्रयण गुणांक और सहसंबंध गुणांक में संबंध:
- $1/4$ ढाल का व्युत्क्रम है, $r$ का वास्तविक मान नहीं।
- सहसंबंध गुणांक $r$ का मान कभी भी $1$ से अधिक नहीं हो सकता, अतः $4$ असंभव है।
- $X$ का $Y$ पर समाश्रयण गुणांक $b_{xy} = +4$ (धनात्मक) है। सांख्यिकी के मूलभूत नियम के अनुसार दोनों समाश्रयण गुणांकों तथा सहसंबंध गुणांक $r$ का चिह्न सदैव समान होता है। चूंकि ढाल धनात्मक है, इसलिए सहसंबंध गुणांक $r$ अनिवार्य रूप से धनात्मक होगा।
- $r$ का मान $-1$ से $+1$ के बीच ही सीमित होता है।
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