Linear dependence in vector spaces:
The vectors in $S$ are 2-dimensional vectors belonging to $\mathbb{R}^2$.
The dimension of $\mathbb{R}^2$ is 2 ($\dim(\mathbb{R}^2) = 2$).
By the fundamental dimension theorem of linear algebra, any set of more than $n$ vectors in an $n$-dimensional vector space must be linearly dependent.
Here, the set $S$ contains 4 vectors in $\mathbb{R}^2$. Since $4 \gt 2$, $S$ is necessarily linearly dependent.
Notice also that removing 1 vector leaves 3 vectors, which still exceeds 2, so the subsets in Options 3 and 4 are also linearly dependent.
सदिश समष्टि (vector space) में रैखिक आश्रितता:
समुच्चय $S$ के सदिश 2-विमीय समष्टि $\mathbb{R}^2$ के अवयव हैं।
$\mathbb{R}^2$ की विमा 2 होती है।
रैखिक बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार, किसी $n$-विमीय समष्टि में $n$ से अधिक सदिशों का कोई भी समुच्चय सदैव रैखिकतः आश्रित (linearly dependent) होता है।
यहाँ $S$ में 4 सदिश हैं ($4 \gt 2$), अतः $S$ अनिवार्य रूप से रैखिकतः आश्रित है।