The solution of the differential equation $\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 9x = 0$ is given by :
अवकल समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 9x = 0$ का हल होगा :
EXPLANATION
Ordinary Differential Equations
The auxiliary characteristic equation is:
$m^2 + 6m + 9 = 0$.
Factoring gives:
$(m + 3)^2 = 0 \implies m_1 = m_2 = -3$ (repeated real roots).
For repeated roots $m = -3$, the general solution is:
$x = (C_1 + C_2 t)e^{-3t}$.
Detailed analysis of options:
- $x = (C_1 + C_2 t)e^{3t}$ has root $+3$ instead of $-3$.
- $x = (C_1 + C_2 t)e^{-3t}$ is correct.
- Root 5 is incorrect.
- Root $-5$ is incorrect.
दिए गए रैखिक अवकल समीकरण का सहायक समीकरण (auxiliary equation):
$m^2 + 6m + 9 = 0$.
$(m + 3)^2 = 0 \implies m = -3, -3$ (समान वास्तविक मूल)।
समान मूलों के लिए व्यापक हल:
$x = (C_1 + C_2 t)e^{-3t}$.
विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:
- $x = (C_1 + C_2 t)e^{3t}$ में घातांक $+3$ है।
- $x = (C_1 + C_2 t)e^{-3t}$ सही उत्तर है।
- घातांक $5t$ गलत है।
- घातांक $-5t$ गलत है।
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