Let $(a_n) = r^n$, where $r$ is any real number. Then:
मान लीजिए $(a_n) = r^n$, जहाँ $r$ कोई वास्तविक संख्या है। तब:
EXPLANATION
अनुक्रम, श्रेणियां एवं अभिसरण
Convergence criteria for geometric sequences:
- For $r = 2$, $2^n \to \infty$, which diverges.
- For $r = 0.5$, $(0.5)^n \to 0$, which converges.
- For any real number $r$ satisfying $|r| \lt 1$ (i.e. $-1 \lt r \lt 1$), $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$. Hence the sequence is strictly convergent for any $|r| \lt 1$.
- The sequence converges to $0$ when $|r| \lt 1$, not diverges.
गुणोत्तर अनुक्रम के अभिसरण की शर्तें:
- $r \gt 1$ पर यह अनंत की ओर बढ़ता है।
- $|r| \lt 1$ पर यह शून्य की ओर अभिसरित होता है।
- जब वास्तविक संख्या $r$ का मान $|r| \lt 1$ (अर्थात $-1 \lt r \lt 1$) होता है, तब $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ होता है। अतः यह अनुक्रम प्रत्येक $|r| \lt 1$ के लिए अभिसारी होता है।
- यह अपसारी नहीं है।
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