In Simple Random Sampling Without Replacement (SRSWOR) from a finite population of size N, the probability of selecting any specified population unit at the k-th draw (1 ≤ k ≤ N) is: / N आकार की परिमित समष्टि से बिना प्रतिस्थापन के सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (SRSWOR) में, k-वें निष्कर्षण (1 ≤ k ≤ N) पर किसी निर्दिष्ट समष्टि इकाई के चयनित होने की प्रायिकता होती है:

(1/N) (1 / Population Size) / (1/N)

In Simple Random Sampling Without Replacement (SRSWOR) from a finite population of size N, the probability of selecting any specified population unit at the k-th draw (1 ≤ k ≤ N) is: / N आकार की परिमित समष्टि से बिना प्रतिस्थापन के सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (SRSWOR) में, k-वें निष्कर्षण (1 ≤ k ≤ N) पर किसी निर्दिष्ट समष्टि इकाई के चयनित होने की प्रायिकता होती है:

(4) (1/N) (1 / Population Size) / (1/N) Explanation (English): A fundamental theorem of Simple Random Sampling Without Replacement (SRSWOR) states that the probability of any specified unit being selected at the k-th draw is identically equal to (1/N) for all k = 1, 2, , N. Proof: Probability of a specific unit ui being drawn at the k-th draw = P(not drawn in first k-1 draws) × P(drawn at k-th draw | not drawn earlier) = ((N-1/N)) × ((N-2/N-1)) × × ((N-k+1/N-k+2)) × ((1/N-k+1)) = (1/N) Hence, Option 4 (1/N) is correct. व्याख्या (हिंदी): बिना प्रतिस्थापन के सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (SRSWOR) का मूलभूत प्रमेय है कि किसी निर्दिष्ट इकाई के k-वें निष्कर्षण पर चयनित होने की प्रायिकता सदैव 1/N होती है (सभी k = 1, 2, , N के लिए समान)। प्रायिकता गणना: P(ui at k-th draw) = (N-1/N) × (N-2/N-1) × × (1/N-k+1) = (1/N) अतः सही उत्तर विकल्प 4 (1/N) है।

Statistical Methods & Experimental Designs Practice Questions (Q103) - Statistical Sciences

Q.103

ICAR 2024Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

In Simple Random Sampling Without Replacement (SRSWOR) from a finite population of size $N$, the probability of selecting any specified population unit at the $k$-th draw ($1 \le k \le N$) is:

$N$ आकार की परिमित समष्टि से बिना प्रतिस्थापन के सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (SRSWOR) में, $k$-वें निष्कर्षण ($1 \le k \le N$) पर किसी निर्दिष्ट समष्टि इकाई के चयनित होने की प्रायिकता होती है:

$\frac{1}{N - k + 1}$ $\frac{1}{N - k + 1}$ $\frac{k}{N}$ $\frac{k}{N}$ $\frac{N - k}{N}$ $\frac{N - k}{N}$ $\frac{1}{N}$ (1 / Population Size) $\frac{1}{N}$ Correct

A fundamental theorem of Simple Random Sampling Without Replacement (SRSWOR) states that the probability of any specified unit being selected at the $k$-th draw is identically equal to $\frac{1}{N}$ for all $k = 1, 2, \dots, N$.

Proof: Probability of a specific unit $u_i$ being drawn at the $k$-th draw = $P(\text{not drawn in first } k-1 \text{ draws}) \times P(\text{drawn at } k\text{-th draw | not drawn earlier})$

$$= \left(\frac{N-1}{N}\right) \times \left(\frac{N-2}{N-1}\right) \times \dots \times \left(\frac{N-k+1}{N-k+2}\right) \times \left(\frac{1}{N-k+1}\right) = \frac{1}{N}$$

Hence, Option 4 ($1/N$) is correct.

बिना प्रतिस्थापन के सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (SRSWOR) का मूलभूत प्रमेय है कि किसी निर्दिष्ट इकाई के $k$-वें निष्कर्षण पर चयनित होने की प्रायिकता सदैव $1/N$ होती है (सभी $k = 1, 2, \dots, N$ के लिए समान)।

प्रायिकता गणना:

$$P(u_i \text{ at } k\text{-th draw}) = \frac{N-1}{N} \times \frac{N-2}{N-1} \times \dots \times \frac{1}{N-k+1} = \frac{1}{N}$$

अतः सही उत्तर विकल्प 4 ($1/N$) है।

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