The harmonic mean of {a/(1-ab)} and {a/(1+ab)} is equal to :
व्यंजकों {a/(1-ab)} और {a/(1+ab)} का हरात्मक माध्य (Harmonic mean) किसके बराबर है?
EXPLANATION
Measures of Central Tendency: Arithmetic Mean, Geometric Mean, Harmonic Mean, Median and Mode
Mathematical derivation of harmonic mean:
Let $x_1 = \frac{a}{1-ab}$ and $x_2 = \frac{a}{1+ab}$.
- Incorrect: The calculation yields $a$, not $a/b$.
- Correct: The harmonic mean $H$ of two quantities $x_1$ and $x_2$ is given by:
$$H = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}}$$
Reciprocals are:
$$\frac{1}{x_1} = \frac{1-ab}{a}, \quad \frac{1}{x_2} = \frac{1+ab}{a}$$
Adding the reciprocals:
$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{(1-ab) + (1+ab)}{a} = \frac{2}{a}$$
Therefore:
$$H = \frac{2}{2/a} = a$$
- Incorrect: $(a)/(1-ab)$ is simply the first term itself.
- Incorrect: $1/a$ is the reciprocal of the mean.
हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) की गणितीय गणना:
मान लीजिए $x_1 = \frac{a}{1-ab}$ और $x_2 = \frac{a}{1+ab}$ हैं।
- गलत: गणना से उत्तर $a$ प्राप्त होता है, $a/b$ नहीं।
- सही: दो संख्याओं $x_1$ और $x_2$ का हरात्मक माध्य (HM) होता है:
$$H = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}}$$
व्युत्क्रम लेने पर:
$$\frac{1}{x_1} = \frac{1-ab}{a}, \quad \frac{1}{x_2} = \frac{1+ab}{a}$$
योग करने पर:
$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{(1-ab) + (1+ab)}{a} = \frac{2}{a}$$
अतः हरात्मक माध्य:
$$H = \frac{2}{2/a} = a$$
- गलत: यह स्वयं प्रथम पद है।
- गलत: यह परिणाम का व्युत्क्रम है।
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