Let {n=1}^∞ an be series of real number, then: / मान लीजिए {n=1}^∞ an वास्तविक संख्याओं की एक श्रेणी है, तो:

{n=1}^∞ an is convergent if and only if {n ∞} |{a{n+1}}{an}| < 1 / {n=1}^∞ an अभिसारी है यदि और केवल यदि {n ∞} |{a{n+1}}{an}| < 1

{n=1}^∞ an is convergent if and only if {n ∞} |an|^{1/n} > 1 / {n=1}^∞ an अभिसारी है यदि और केवल यदि {n ∞} |an|^{1/n} > 1

{n=1}^∞ an is convergent if and only if {n ∞} |an|^{1/n} = 1 / {n=1}^∞ an अभिसारी है यदि और केवल यदि {n ∞} |an|^{1/n} = 1

{n=1}^∞ an is convergent if and only if {n ∞} |{a{n+1}}{an}| < 1 / {n=1}^∞ an अभिसारी है यदि और केवल यदि {n ∞} |{a{n+1}}{an}| < 1

{n=1}^∞ an is convergent if and only if {n ∞} |{a{n+1}}{an}| = 1 / {n=1}^∞ an अभिसारी है यदि और केवल यदि {n ∞} |{a{n+1}}{an}| = 1

Let {n=1}^∞ an be series of real number, then: / मान लीजिए {n=1}^∞ an वास्तविक संख्याओं की एक श्रेणी है, तो:

(3) {n=1}^∞ an is convergent if and only if {n ∞} |{a{n+1}}{an}| 1, the series diverges. If L = 1, the test is inconclusive. Therefore, the condition for convergence is {n ∞} |{a{n+1}}{an}| 1 हो, तो श्रेणी अपसारी होती है। यदि L = 1 हो, तो परीक्षण अनिर्णायक रहता है। अतः अभिसरण की शर्त {n ∞} |{a{n+1}}{an}| < 1 है (विकल्प 3)।

मान लीजिए {n=1}^∞ an वास्तविक संख्याओं की एक श्रेणी है, तो:

Q.88

ICAR AIEEA PG 2024 - Statistical Sciences

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let $\sum_{n=1}^\infty a_n$ be series of real number, then:

मान लीजिए $\sum_{n=1}^\infty a_n$ वास्तविक संख्याओं की एक श्रेणी है, तो:

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ is convergent if and only if $\lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} > 1$ $\sum_{n=1}^\infty a_n$ अभिसारी है यदि और केवल यदि $\lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} > 1$ $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is convergent if and only if $\lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = 1$ $\sum_{n=1}^\infty a_n$ अभिसारी है यदि और केवल यदि $\lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = 1$ $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is convergent if and only if $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ $\sum_{n=1}^\infty a_n$ अभिसारी है यदि और केवल यदि $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ Correct $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is convergent if and only if $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$ $\sum_{n=1}^\infty a_n$ अभिसारी है यदि और केवल यदि $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$

According to D'Alembert's Ratio Test for infinite series of real numbers:
Let $L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.
If $L \lt 1$, the series converges absolutely.
If $L \gt 1$, the series diverges.
If $L = 1$, the test is inconclusive.

Therefore, the condition for convergence is $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \lt 1$. Option 3 is correct.

डी'अलेम्बर्ट के अनुपात परीक्षण (D'Alembert's Ratio Test) के अनुसार:
यदि $L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \lt 1$ हो, तो श्रेणी अभिसारी (convergent) होती है।
यदि $L \gt 1$ हो, तो श्रेणी अपसारी होती है।
यदि $L = 1$ हो, तो परीक्षण अनिर्णायक रहता है।

अतः अभिसरण की शर्त $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \lt 1$ है (विकल्प 3)।

Explanation not matching this question? क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही? Report

Want to practice this paper in exam conditions? क्या आप परीक्षा जैसे माहौल में अभ्यास करना चाहते हैं? Test yourself in 5-question batch format with timer and hidden answers. 5-प्रश्नों के बैच फॉर्मैट, टाइमर और छिपे उत्तरों के साथ खुद को परखें।

Start Practice Mode → प्रैक्टिस टेस्ट मोड शुरू करें →