For two invertible matrices A and B of suitable orders, the value of (AB)⁻¹ is : / उचित कोटि के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों (invertible matrices) A और B के लिए, (AB)⁻¹ का मान क्या होगा?

(2) B⁻¹ A⁻¹ Explanation (English): Detailed Proof of Matrix Inversion Reversal Law: (A) Reversal Law for Inverse: For two non-singular invertible square matrices A and B, the product inverse satisfies (AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹. (B) Verification: By definition of matrix inverse, multiplying (AB) by (B⁻¹ A⁻¹): (AB)(B⁻¹ A⁻¹) = A(B B⁻¹)A⁻¹ = A(I)A⁻¹ = A A⁻¹ = I Similarly: (B⁻¹ A⁻¹)(AB) = B⁻¹(A⁻¹ A)B = B⁻¹(I)B = B⁻¹ B = I Therefore, (AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹. Hence, Option 2 is correct. व्याख्या (हिंदी): आव्यूह व्युत्क्रमण के उत्क्रमण नियम (Reversal Law) का सत्यापन: (A) आव्यूह व्युत्क्रम नियम: किन्हीं दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों A तथा B के गुणनफल का व्युत्क्रम (AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹ होता है। (B) सत्यापन: (AB)(B⁻¹ A⁻¹) = A(B B⁻¹)A⁻¹ = A I A⁻¹ = A A⁻¹ = I तथा (B⁻¹ A⁻¹)(AB) = B⁻¹(A⁻¹ A)B = B⁻¹ I B = B⁻¹ B = I अतः आव्यूह व्युत्क्रम की परिभाषा से (AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹ सिद्ध होता है। अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।

For two invertible matrices A and B of suitable orders, the...

Q.1

ICAR AIEEA PG Agricultural Engineering & Technology 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.4)

MCQ (Single Correct) +4 −1

For two invertible matrices $A$ and $B$ of suitable orders, the value of $(AB)^{-1}$ is :

उचित कोटि के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों (invertible matrices) $A$ और $B$ के लिए, $(AB)^{-1}$ का मान क्या होगा?

$(BA)^{-1}$ $(BA)^{-1}$ $B^{-1} A^{-1}$ $B^{-1} A^{-1}$ Correct $A^{-1} B^{-1}$ $A^{-1} B^{-1}$ $(AB')^{-1}$ $(AB')^{-1}$

Detailed Proof of Matrix Inversion Reversal Law:

Reversal Law for Inverse: For two non-singular invertible square matrices $A$ and $B$, the product inverse satisfies $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
Verification: By definition of matrix inverse, multiplying $(AB)$ by $(B^{-1} A^{-1})$:
$$(AB)(B^{-1} A^{-1}) = A(B B^{-1})A^{-1} = A(I)A^{-1} = A A^{-1} = I$$
Similarly:
$$(B^{-1} A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1} A)B = B^{-1}(I)B = B^{-1} B = I$$

Therefore, $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$. Hence, Option 2 is correct.

आव्यूह व्युत्क्रमण के उत्क्रमण नियम (Reversal Law) का सत्यापन:

आव्यूह व्युत्क्रम नियम: किन्हीं दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $A$ तथा $B$ के गुणनफल का व्युत्क्रम $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ होता है।
सत्यापन:
$$(AB)(B^{-1} A^{-1}) = A(B B^{-1})A^{-1} = A I A^{-1} = A A^{-1} = I$$
तथा
$$(B^{-1} A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1} A)B = B^{-1} I B = B^{-1} B = I$$

अतः आव्यूह व्युत्क्रम की परिभाषा से $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ सिद्ध होता है। अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।

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