The equation of the conic section whose vertices are (0, ± 8)...

Q.6

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper (Q.89)

MCQ (Single Correct)

The equation of the conic section whose vertices are $(0, \pm 8)$ and asymptotes are $y = \pm \frac{4}{3}x$ is given by:

उस शांकव खंड का समीकरण क्या होगा जिसके शीर्ष $(0, \pm 8)$ और अनंतस्पर्शी (असिम्पटोट्स) $y = \pm \frac{4}{3}x$ हैं?

$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{64} = 1$ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{64} = 1$ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1$ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1$ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{36} = 1$ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{36} = 1$ $-\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{64} = 1$ $-\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{64} = 1$

Q.7

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper (Q.95)

MCQ (Single Correct)

From point $Q$ which is outside the circle, the length of the tangent to the circle is $24\text{ cm}$ and the distance of $Q$ from the centre is $25\text{ cm}$, then the radius of the circle is given by :

वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु $Q$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $24\text{ cm}$ है तथा केंद्र से $Q$ की दूरी $25\text{ cm}$ है, तो वृत्त की त्रिज्या होगी:

$7\text{ cm}$ $7\text{ cm}$ $12\text{ cm}$ $12\text{ cm}$ $15\text{ cm}$ $15\text{ cm}$ $24.5\text{ cm}$ $24.5\text{ cm}$

Properties of circle tangents and the Pythagorean theorem:
The tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point of contact $T$.

Hence, $\triangle OTQ$ forms a right-angled triangle where $\angle OTQ = 90^\circ$. Hypotenuse $OQ = 25\text{ cm}$, and base $QT = 24\text{ cm}$. Radius $r = OT = \sqrt{OQ^2 - QT^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\text{ cm}$. Option breakdown:

$7\text{ cm}$ is the exact radius derived from the $(7, 24, 25)$ Pythagorean triplet.
$12\text{ cm}$ is an arbitrary incorrect value.
$15\text{ cm}$ is incorrect.
$24.5\text{ cm}$ is incorrect.

वृत्त की स्पर्श रेखा और पाइथागोरस प्रमेय के गुणधर्म:
वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के साथ समकोण बनाती है।

अतः केंद्र $O$, स्पर्श बिंदु $T$ तथा बाह्य बिंदु $Q$ मिलकर समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसमें $\angle OTQ = 90^\circ$ है। कर्ण $OQ = 25\text{ cm}$, स्पर्श रेखा $QT = 24\text{ cm}$: त्रिज्या $r = OT = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\text{ cm}$. विकल्पों का विश्लेषण: