Consider the following probability distributions :
(A) Normal distribution
(B) Binomial distribution
(C) Poisson distribution
(D) F-distribution
(E) Chi-square distribution
In
निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों पर विचार कीजिए :
(A) प्रसामान्य बंटन (Normal distribution)
(B) द्विपद बंटन (Binomial distribution)
(C) प्वासों बंटन (Poisson distribution)
(D) F-बंटन (F-distribution)
(E) काई-वर्ग बंटन (Chi-square distribution)
उपरोक्त बंटनों में से किसमें माध्य (mean) और प्रसरण (variance) बराबर होते हैं?
EXPLANATION
व्यावहारिक सांख्यिकी एवं प्रायिकता
Detailed Analysis of Probability Distributions Properties:
- Normal Distribution: Mean = $\mu$, Variance = $\sigma^2$ (independent parameters; generally $\mu \ne \sigma^2$).
- Binomial Distribution: Mean = $np$, Variance = $npq$ (since $q \lt 1$, Mean > Variance).
- Poisson Distribution: Defined by single parameter $\lambda$. Mean = $\lambda$ and Variance = $\lambda$. Hence, Mean = Variance holds strictly for Poisson distribution only.
- F-distribution: Mean = $d_2 / (d_2 - 2)$ for $d_2 \gt 2$, Variance is a complex function of degrees of freedom.
- Chi-square Distribution: Mean = $k$, Variance = $2k$ (Variance = $2 \times$ Mean).
Therefore, Mean = Variance in (C) only (Option 3).
प्रायिकता बंटनों के गुणों का विस्तृत विश्लेषण:
- प्रसामान्य बंटन: माध्य = $\mu$, प्रसरण = $\sigma^2$ (सामान्यतः दोनों स्वतंत्र होते हैं)।
- द्विपद बंटन: माध्य = $np$, प्रसरण = $npq$ (चूँकि $q \lt 1$, अतः माध्य > प्रसरण होता है)।
- प्वासों बंटन: इसमें केवल एक प्राचल $\lambda$ होता है, जहाँ माध्य = $\lambda$ तथा प्रसरण = $\lambda$ होता है। अतः माध्य और प्रसरण केवल प्वासों बंटन में समान होते हैं।
- F-बंटन: माध्य और प्रसरण अलग-अलग स्वतंत्रता की कोटियों पर निर्भर करते हैं।
- काई-वर्ग बंटन: माध्य = $k$, प्रसरण = $2k$ (प्रसरण, माध्य का दोगुना होता है)।
अतः सही उत्तर केवल (C) है (विकल्प 3)।
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